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【优化方案】高三数学一轮复* 第4章4.3*面向量的数量积及*面向量的应用课件 文 北师大版

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§4.3 *面向量的数量积 及*面向量的应用 § 4.3 * 面 向 量 的 数 量 积 及 * 面 向 量 的 应 用 双基研*?面对高考 考点探究?挑战高考 考向瞭望?把脉高考 双基研*?面对高考 基础梳理 1.两个向量的夹角 (1)夹角的定义 定义 范围 非零 向量a, 已知两个______ → → b,作 = a, OB =b, OA 向量夹角θ的范围是 则∠AOB=θ叫作向量a [0°,180°] 当θ= ____________ 与b的夹角(如图). __________ 时,两向量 0°或 共线; 180° 当θ=_______ 90° 时,两向 量垂直,记作a⊥b(规定 零向量可与任一向量垂 直)., (2)射影的定义 |b|cosθ 叫作b在a方向 设θ是a与b的夹角,则________ |a|cos θ 上的射影. ________ 叫作a在b方向上的射影. 射影是一个实数,不是线段的长度,也不是向 量.当θ ______________ ∈[0°,90°) 时,它是正值;当 θ∈(90°,180°] 时,它是负值;当 _________________ _________ θ=90° 时,它是0. 思考感悟 1.在△ABC 中,设 A B =a,B C =b,则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC 是否正确? → → 提示:不正确.求两个向量的夹角时,两向量起 点应相同,向量a与b的夹角为π-∠ABC. (1)向量的数量积的定义 a||b|cosθ 已知两个向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,把| _______ 叫作 a 与 b 的数量积 (或内积 ),记作 a· b,即 a· b= |a||b|cosθ. (2)向量数量积的性质 |a|cos ①若 e 是单位向量,则 e· a= a· e= _______. ②若 a⊥b, 则________ 反之, 若 aθ · b= 0, 则 ______ a· b=0 ; a⊥ b , 记作 a⊥b?a· b= 0. ③ |a|= a· a. a· b (|a||b|≠0) | a || b | ④cosθ=________________. ⑤对任意两个向量a、b,有|a· b|≤|a||b|,当且仅 当a∥b时等号成立. (3)向量数量积的运算律 给定向量a,b,c和实数λ,有 ① a· b=b· a;(交换律) a· (λb) ;(数乘结合律) ②(λa)· b=λ(a· b)=________ a· b+a· c ③ a· (b+c)=_____________ (分配律). 思考感悟 2.当a≠0时,由a· b=0一定有b=0吗? 提示:不一定.a· b=0有三种情形;①a=0;② b=0;③a⊥b即a与b的夹角为90°. 3.*面向量数量积的坐标运算 (1)*面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x 1x 2+ y 1y 2 a· b=_______________. 即两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和. (2)向量模的坐标表示 若 A(x1, y1)、 B(x2, y2),则 |A B |= → ?x2-x1? +? y2-y1? ___________________________ (两点间距离公式). 2 2 2 2+ y 2 x 若 a= (x, y),则 |a| =_________, |a|= x + y . (3)两向量夹角的余弦公式 设 a、 b 是非零向量, a= (x1, y1),b=(x2, y2), θ 是 x1x2+y1y2 2 2 2 2 x + y · x + y 1 1 2 2 a 与 b 的夹角,则有 cosθ= _________________. 2 2 (4)两个向量垂直的充要条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x 1x 2 + y 1y 2= a⊥b?________________________. 0 (5)直线的方向向量 把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量, 设直线方程为y=kx+b,则其方向向量为m= (1,k) _______________ .设直线方程为Ax+By+C =0,则其方向向量为m=_______________ , (-B,A) 利用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程、 求两直线的夹角等,这给我们处理解析几何问题 增加了一条新途径. 课前热身 1.已知向量 a= (x,6), b= (6,5),若 a⊥ b,则 x 的值 为( ) 36 A.- B.- 5 5 C. 5 36 D. 5 解析:选B.∵a⊥b,∴a· b = 0, ∴6x+5×6=0,∴x=-5. 2.(原创题)若a≠0,a· b=0,则满足条件的b的 个数是( ) A.0 C.2 B.1 D.无数个 解析:选D.只要b⊥a即可,故b有无数个. 3.(2010 年高考课标全国卷)a,b 为*面向量,已知 a = (4,3), 2a+b= (3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 ( ) 8 8 A. B.- 65 65 16 C. 65 16 D.- 65 答案:C 4. (2009 年高考江苏卷 )已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b = ________. 答案:3 5. (教材*题改编 )已知△ ABC 中, |A B |= 2, |B C | = 2,∠ ABC= 45° ,则 A B · B C = ________. → → → → 答案:-2 考点探究?挑战高考 考点突破 *面向量数量积的运算 向量的数量积是向量之间的一种运算,它是向量 与向量的运算,结果却是一个数量.*面向量的 数量积运算类似于



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